mateforum.ro

Fie \( (G, \cdot) \) un grup finit, iar \( (\mathbb{Q}, +) \) este grupul aditiv al numerelor rationale. Daca \( f: (\mathbb{Q}, +) \to (G,\cdot) \) este morfism de grupuri, atunci \( f(x)=e, \forall x\in\mathbb{Q} \), unde \( e \) este elementul neutru al grupului \( G \).

***, Olimpiada locala Constanta, 2008

***

Deoarece f este morfism avem \( f(nr)=\left( f(r)\right)^n ,\forall r \in \mathbb{Q} ,\forall n \in \mathbb{N} \).

Fie \( n=|G| \).Astfel obitnem \( f(nr)=e ,\forall r\in\mathbb{Q} \) si \( n=|G| \).Deci \( f(x)=e , \forall x \in \mathbb{Q}_{n} \), unde \( \mathbb{Q}_{n} =\{ \frac{r}{n} | r \in \mathbb{Q}\} \).Din faptul ca \( \mathbb{Q}_n =\mathbb{Q} \), concluzia este evidenta.