mateforum.ro

Fie \( d \) o dreapta data in spatiu. Pentru orice \( n \) puncte \( A_1 \),\( A_2 \),...,\( A_n \) nesituate pe \( d \), figura formata din reuniunea semiplanelor \( S_k=(dA_k \), \( 1\le k\le n \) o vom numi \( n-evantai \) daca masura unghiului diedru dintre oricare doua semiplane \( S_i \) si \( S_j \), \( 1\le i<j\le n \), este exprimata printr-un numar intreg nenul de grade.
\( a) \) Demonstrati ca orice \( 91-evantai \) contine doua semiplane care sau sunt in prelungire sau sunt perpendiculare.
\( b) \) Pentru fiecare \( 1\le n\le 360 \), aflati cate \( n-evantaie \) exista cu proprietatea ca printre semiplanele sale exista doua care sau sunt in prelungire sau sunt perpendiculare (doua \( n-evantaie \) se considera identice daca si numai daca unul se obtine din altul printr-o rotatie in jurul dreptei \( d \)).

a) iese usor din principiul cutiei
b) Solutia autorului
Numim cruciulita un 4 evantai la 90 de grade. Sunt 90 de cruciulite si cand vrem se construim un n evantai in care sa nu existe 2 semiplane in prelungire sau perpendiculare, avem cel mult un semiplan ales in evantaiul cautat din fiecare cruciulita. Ramane sa alegem n cruciulite din totalul de 90 de cruciulite, unde din fiecare cruciulita alegem exact un semiplan. Apoi complementara.