mateforum.ro

Fie \( \omega \in \mathb{C}-\left\{1\right\} \) cu \( \omega ^n=1 \). Determinati \( n \in\mathbb{N} \) astfel incat \( \displaystyle \sum _{k=0} ^{n-1} \omega ^{k^2} =0 \).

Daca \( \varepsilon \) este o radacina primitiva a unitatii de ordinul \( n \), atunci fie \( \omega=\varepsilon^p \). Avem \( \sum_{k=1}^n\varepsilon^{pk^2}=0 \).

Daca puterile lui \( \varepsilon \) nu ar fi distincte, \( \varepsilon \) ar verifica un polinom diferit de polinomul minimal. Deci \( pk^2 \) sunt distincte modulo \( n \). Daca \( n\geq 3 \) atunci pentru \( 1 \) si \( n-1 \) se obtin valori egale, ceea ce este o contradictie. Deci singurul caz convenabil este \( n=2 \).