Demonstratie.
Cum functia
\( f \) este continua intr-o vecinatate a punctului
\( (t_{0}, x_{0}) \) rezulta ca exista
\( a, b>0 \) astfel incat daca
\( (t,x)\in\mathbb{R}^{2} \) cu
\( |t-t_{0}| \leq a \) si
\( |x-x_{0}| \leq b \) sa avem
\( f \) continua in
\( (t,x) \).
Acum, vom considera dreptunghiul
\( \mathcal{R}=\{ (t,x)\in\mathbb{R}^{2}, |t-t_{0}| \leq a, |x-x_{0}|\leq b \} \).
Alegem
\( M>1 \) astfel incat
\( M>\frac{b}{a} \) si
\( |f(t, x)| \leq M \) pentru orice
\( (t,x)\in\mathcal{R} \). Punem
\( \alpha=\frac{b}{M} \). Sa observam ca
\( \alpha \) depinde de o anumita topologie. Alegem
\( a, b \) foarte mici astfle incat sa "aranjam" dreptunghiul
\( \mathcal{R} \) pe discul unitate. Stim ca multiumea valorilor
\( |f(t,x)| \) pentru
\( (t,x)\in\mathcal{R} \) este marginita, deci
\( M \) exista pentru ca
\( \mathcal{R} \) este inchisa si marginita, deci compacta, de unde avem ca imaginea fucntiei continue
\( |f| \) este o multime compacta, deci marginita.
Consideram
\( C \) multimea functiilor continue pe intervalul
\( [t_{0}+\alpha, t_{0}+\alpha] \). Este foarte usor de aratat ca
\( C \) mosteneste structura de spatiu vectorial (linear) (! se verifica cele doua axioame: pentru
\( u,v\in C \) si
\( \lambda\in\mathbb{R} \) avem ca
\( (u+v)(x)=u(x)+v(x) \) si ca
\( u(\alpha x)=\alpha u(x) \))
Definim
\( A \) o submultime a lui
\( C \) in maniera urmatoare:
o functie
\( u\in C \) apartine multimii
\( A \) daca satisface proprietatile:
i)
\( |u(t)-x_{0}|\leq b, \forall t\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \)
ii)
\( |u(t_{1})-u(t_{2})|\leq M |t_{1}-t_{2}|, \forall t_{1}, t_{2}\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \).
Multimea
\( A \) este o submultime convexa a lui
\( C \) (! pentru
\( u,v\in A \) si
\( t\in [0,1] \) avem
\( tu+(1-t)v\in A \)). Pe multimea
\( C \) introducem si norma
\( ||u||=\max\{|u(t)|, t\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \} \), de unde avem ca
\( C \) este spatiu linear normat.
Multimea
\( A \) este inchisa in
\( C \) in raport cu topologia normei. Folosind teorema Arzela-Ascoli, rezulta ca
\( A \) este compacta.
Acum, construim operatorul continuu
\( T:C\to C \) definit astfel:
\( Tu(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(s, u(s))ds \)
unde
\( u\in C \).
Este cunoscut faptul ca daca
\( \varphi(.):[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \) este solutie a problemei Cauchy, atunci ea verifica ecuatia integrala asociata, anume,
\( \varphi(t)-\varphi(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}f(s, \varphi(s))ds \).
Astfel, problema noastra s-a "echivalat" cu existenta unui punct fix (adica
\( T\varphi=\varphi \)) pentru operatorul
\( T \). Conditiile i) si ii) ne asigura si conditia
\( T(A)\subset A \).
Din teorema de punct fix a lui
Schauder concluzia se impune.
\( \qed \)