mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie derivabila cu derivata marginita. Sa se arate ca
\( \int_0^1f^2(x)dx-(\int_0^1f(x)dx)^2\le \frac{1}{12}\;(\sup_{x\in[0,1]}|f^{\prime}(x)|)^2 \).

GM 8/1995; enunt corectat

PS In GM 8/1995 problema apare cu un enunt gresit, adica cu \( \frac{1}{12}\;\cdot\sup_{x\in[0,1]}|f^{\prime}(x)| \) in partea dreapta. Evident ca o functie de forma cx, c>1, nu satisface inegalitatea in forma data acolo.

Notăm \( M=\sup \| f^{\prime}\| \), \( I=[0,1],\ D=I^{2} \).
Membrul stâng este:

\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)^{2}+f(y)^{2}\right)
dxdy-\int_{I}f(x)dx\int_{I}f(y)dy= \)

\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)^{2}+f(y)^{2}\right)
dxdy-{\iint_{D}}f(x)f(y)dxdy= \)

\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)-f(y)\right) ^{2}dxdy\leq \)

\( \frac{1}{2}M^{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( x-y\right) ^{2}
dxdy=M^{2}/12 \).


O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.

aleph wrote: O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.

Sau aplicand inegalitatea lui Cebasev, sub forma integrala.

Solutie.

La fel ca in solutia precedenta notam \( M=\sup_{x\in [0,1]} |f^{\prime}| \).
Din \( |f^{\prime}|\leq M \) rezulta ca \( -M\leq f^{\prime}(x)\leq M, \forall x\in [0,1] \), de unde obtinem ca functiile \( g,h:[0,1]\to\mathbb{R} \) definite prin \( g(x)=f(x)-Mx \) si \( h(x)=f(x)+Mx \) sunt descrescatoare, respectiv crescatoare pe \( [0,1] \). Conform inegalitatii lui Cebasev, avem ca

\( \int_0^1(f(x)-Mx)(f(x)+Mx)dx\leq \left(\int_0^1(f(x)-Mx)dx\right)\left(\int_0^1(f(x)+Mx)dx\right)\Leftrightarrow \)
\( \int_0^1(f^{2}(x)-M^{2}x^{2})dx\leq\left(\int_0^1f(x)dx-\frac{M}{2}\right)\left(\int_0^1f(x)dx+\frac{M}{2}\right) \) care este echivalenta in cele din urma cu
\( \int_0^1f^{2}(x)dx-\frac{M^{2}}{3}\leq \left(\int_0^1f(x)dx\right)^{2}-\frac{M^{2}}{4} \), de unde concluzia problemei. \( \qed \)

Cezar Lupu wrote:

aleph wrote:O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.

Sau poate aplicand inegalitatea lui Cebasev, sub forma integrala.

Intr-adevăr, soluţia e ingenioasă. Prima are însă avantajul că se geralizează imediat la cazul Holder: \( |f(x)-f(y)| \le M |x-y|^p \), cu \( 0 < p \le 1 \).