mateforum.ro

Demonstrati ca \( \lim_{n\to\infty}({1-\frac{1}{1!}}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+{\dots}+\frac{(-1)^n}{n!})=\frac{1}{e} \).

Dezvolti \( e^{-x} \) in serie Taylor in jurul lui 0 (Mac-Laurin) si evaluezi seria in 1. Si gata.

Tocmai de asta am postat problema. Eram curios daca este o alta solutie, fara serii Taylor.

Exista, dar cu integrale. Vezi o generalizare aici
http://mateforum.ro/viewtopic.php?p=2342#2342

La nivel de clasa 11 se poate folosi limita

\( e^x = \lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n = \sum_{n=0}^\infty x^n/n! \)

Demonstraţia decurge ca în cazul cunoscut \( x=1 \).
Detaliile se află şi în cartea fraţilor Iaglom (Probleme neelementare ...).