*Estimare indicatorul lui Euler cu o functie de clasa C^1
Posted: Thu Jan 24, 2008 7:20 am
Iata o mica teorema pe care am intalnit-o intr-un articol publicat in Comm. Math. Phys. de Florin Boca, Alexandru Zaharescu si Radu Gologan. Ea suna cam asa:
Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) o functie de clasa \( C^{1}([a,b]) \). Sa se arate ca
\( \sum_{a<k\leq b}\frac{\varphi(k)}{k}f(k)=\frac{6}{\pi^{2}}\int_{a}^{b}f(x)dx+O( \log b (||f||_{\infty}+\int_{a}^{b} |f\prime (x) |dx)) \),
unde \( \varphi(n) \) este indicatorul lui Euler.
Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) o functie de clasa \( C^{1}([a,b]) \). Sa se arate ca
\( \sum_{a<k\leq b}\frac{\varphi(k)}{k}f(k)=\frac{6}{\pi^{2}}\int_{a}^{b}f(x)dx+O( \log b (||f||_{\infty}+\int_{a}^{b} |f\prime (x) |dx)) \),
unde \( \varphi(n) \) este indicatorul lui Euler.