mateforum.ro

Fie \( x\in B(H) \) autoadjunct (nu stiu daca e adevarat si pentru elemente normale) si \( f\in\mathcal{B}(\sigma(x)) \) o functie boreliana pe spectrul lui \( x \). Aratati ca:

\( ||f(x)||=\inf_{e(D)=1}\ \sup_{\lambda\in D}|f(\lambda)| \),

unde daca \( D\subset\sigma(x) \) atunci \( e(D)=\chi_D(x) \) (functia caracteristica) adica este proiectia spectrala asociata submultimii \( D \).

Intr-un final glorios am reusit sa rezolv aceasta problema si este adevarata pentru operatori normali.

Am gasit urmatoarea lema in cartea Analysis now - Pedersen:

\( \mu\in\sigma(f(x))\Leftrightarrow e(f^{-1}(B(\mu,\varepsilon)))\neq 0 \) pentru orice \( \varepsilon>0 \).

\( B(\mu,\varepsilon) \) inseamna bila de centru \( \mu \) si raza \( \varepsilon \).

Demonstratia acestei leme precum si terminarea exercitiului nu sunt foarte grele (nici triviale).

Am fost rugat de mai multe ori sa zic o carte buna de analiza functionala si la vremea aceea nu stiam nimic care sa imi placa. Aceasta care "Analysis now" pare un candidat bun.