mateforum.ro

Examen: Algebra
Profesor: C. Nita

(3) (a) Module libere. Definitie. Exemple.
(b) Dati exemplu de un modul liber care are un submodul care nu este liber.
(c) Aratati ca \( \mathbb{R} \) nu este \( \mathbb{Z} \)-modul liber.
(4) Enuntati doua teoreme de izomorfism pentru module si demonstrati una dintre acestea.

3(c): Presupunem prin absurd ca ar exista o baza. Fie \( x \) un element al bazei. Atunci \( \frac{x}{2} \) este combinatie liniara de elemente din baza, unde eventual apare si x cu coeficientul M. Daca x nu apare, consideram M = 0.
Atunci obtinem (o combinatie liniara de elemente din baza) + (2M-1)x = 0. Insa elementele bazei sunt liniar independente, deci trebuie sa fie toate 0, deci 2M-1=0, absurd.

cata originalitate...
si eu am avut aceleasi subiecte anul trecut...