mateforum.ro

Mica teorema Fermat. Fie \( p \)-numar prim si \( a\in \mathbb{N}^*,\ (a,p)=1 \). Sa se arate ca \( p\ |\ \left(a^{p-1}-1\right) \).

Consideram urmatorii multipli ai lui \( a \): \( M_1=a,\ M_2=2a,\ldots,\ M_{p-1}=(p-1)a \).
Nici unul dintre acesti intregi nu se divide cu p. Fie \( r_1 , r_2,\ldots, r_{p-1} \) resturile obtinute la impartirea nr \( M_1,M_2,\ldots, M_{p-1} \) prin p.
Avem congruentele:
\( M_1\equiv r_1(modp),\ M_2\equiv r_2,\ldots,\ M_{p-1}\equiv r_{p-1} \).
Oricare doua din resturile \( r_1, r_2,\ldots, r_{p-1} \) sunt distincte. Intradevar, daca presupunem ca exista \( i,j\in\{1,2,\ldots, p-1\} \), \( i\neq j \) asa incat \( r_i=r_j \), urmeaza ca \( p\ |\ M_i-M_j \) \( \Rightarrow \) \( p\ | \ a(i-j) \).
Cum \( (p,a)=1 \), se obtine ca \( p\ | \ i-j \), ceea ce este absurd deoarece \( |i-j|<p \). Rezulta ca
\( \{r_1,r_2,\ldots, r_n\}=\{1,2,\ldots,p-1\} \) \( (1) \)

Inmultind membru cu membru congruentele, obtinem
\( M_1M_2\cdots M_{p-1}\equiv r_1r_2\cdots r_{p-1} \) (mod p), adica \( a(2a)\cdots (p-1)a\equiv r_1r_2\cdots r_{p-1} \) si cum \( r_1r_2\cdots r_{p-1}=(p-1)! \) in baza relatiei \( (1) \), rezulta ca \( a^{p-1}\equiv1(mod p) \).

Sper ca nu am gresit nimic