mateforum.ro

Sa se determine toate poligoanele regulate cu varfurile puncte laticiale.

Fie \( O \) centrul poligonului si \( R \) raza sa. Acum sa ne uitam la latura \( A_{i}A_{i+1} \) si la diagonala \( A_{i}A_{i+2} \). Avem ca
\( A_{i}A_{i+1}=2R \sin{\frac{\pi}{n}} \) si \( A_{i}A_{i+2}=2R \sin{\frac{2\pi}{n}}=4R \sin{\frac{\pi}{n}} \cos{\frac{\pi}{n}} \).
Daca poligonul are varfuri in latice avem ca \( A_{i}A_{i+1}^2 \) si \( A_{i}A_{i+2}^2 \) sunt numere intregi, asadar \( \displaystyle \cos^2{\left(\frac{\pi}{n}\right)} \) este rational adica \( \cos{\frac{2\pi}{n}} \) este rational. Acum folosind intregi algebrici se vede usor ca singurele cazuri posibile sunt \( \cos{\frac{2\pi}{n}}\in\{-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\} \) si ramane sa verificam.