mateforum.ro

Fie \( (X_i,\mathcal{B}_i,m_i) \) doua spatii cu masura si \( T:X_1\to X_2 \) o aplicatie ce pastreaza masura, adica \( m_1(T^{-1}(B))=m_2(B) \). Atunci \( \int f(Tx)dm_1=\int fdm_2 \) pentru orice functie \( f \) integrabila pe \( X_2 \).

E suficient sa ne restrangem la cazul \( f\geq 0 \), intrucat \( f=f^+ - f^- \).
Fie \( (s_n) \) un sir de functii simple (asa le-am citit acum in Rudin, eu le stiam sub numele de functii scara) astfel ca \( 0\leq s_1\leq s_2 ... \) si care converge punctual spre f (pentru existenta lui vezi Rudin - Real and complex analysis, pag. 15).
Evident \( s_n(T(x))\leq s_{n+1}(T(x)) \), deci sirul \( s_noT \) e crescator si converge punctual spre foT(x).
Fie \( A_{in} \) multimea pe care functia \( s_n \) ia valoarea \( a_{in} \).
Ne uitam la \( \int s_noT dm_1=\sum a_{in}m_1(T^{-1}(A_{in})) \), unde suma e facuta dupa i, evident finita.
Deci \( \int s_noT dm_1=\sum a_{in}m_2(A_{in})=\int s_n \).
Cum \( (s_n) \) converge punctual crescator spre f si \( s_noT \) converge punctual crescator spre foT, trecem la limita, aplicam Teorema convergentei monotone si gata.

Intrucat azi e prima mea zi de citit teoria masurii, probabil am facut greseli, asa ca va rog sa ma scuzati si sa ma corectati.

[Edit] Deja am gasit prima hiba: sirul \( (s_n) \) poate fi construit daca f e masurabila, nu integrabila. Asa ca prima mea intrebare este: orice functie integrabila e masurabila?

E ok solutia. Traducerea uzuala este "Teorema de convergenta monotona" (sau de convergenta dominata pentru cealalta). Integrabila inseamna masurabila + integrala mai mica decat infinit.

Problema se numeste izometria asociata fiindca in felul acesta unei aplicatii ce pastreaza masura, \( T:X_1\to X_2 \), i se asociaza o izometrie:
\( U_T:L^p(X_2,\mathcal{B}_2,m_2)\to L^p(X_1,\mathcal{B}_1,m_1) \) prin \( (U_Tf)(x)=f(Tx) \).