Grupuri de ordin par
Posted: Fri Dec 14, 2007 1:14 am
Este adevarat ca pentru un grup de ordin par > 2 grupul sau de automorfisme are tot ordin par?
Rezultatul este afirmativ in cazul in care grupul este abelian.
Distingem cazurile:
1. Exista un x din G astfel incat \( x^2\neq e \) (elementul neutru). Atunci numarul automorfismelor este par ( pentru demonstratie vezi http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=417 ... abc93dc348
2. Oricare ar fi x din G avem \( x^2=e. \)
Rezulta G este \( Z_2 \)-spatiu vectorial. Fie B={a, b, c, ...} o baza a sa. Cum G are mai mult de 2 elemente, baza are cel putin 2 elemente. Definim pe G functia f in felul urmator: Pentru x din G , \( x=a^nb^mc^p... \) \( f(a^nb^mc^p...)=a^mb^nc^p... \) (se inverseaza exact doi exponenti). f este automorfism involutiv, deci \( Aut(G) \) contine un element de ordin 2, deci numarul automorfismelor este par.
Daca grupul nu este abelian rezultatul nu mai functioneaza...