mateforum.ro

Fie \( M \) o suprafata inchisa in \( \mathbb{R}^3 \). Fie \( {p,q}\in{M} \) doua puncte care maximizeaza distanta euclidiana dintre oricare doua puncte de pe \( M \).

a) Aratati ca spatiile tangente \( T_{p}M \) si \( T_{q}M \) sunt paralele ca plane in \( \mathbb{R}^3 \).

b) Ce se intampla daca in loc de suprafata inchisa \( M \) consideram o curba inchisa neteda \( C \) in \( \mathbb{R}^3 \)?

Admitere SNSB, 2001

i) Unim cele doua puncte p si q printr-o dreapta si demonstram ca planele tangente in punctele p si q sunt perpendiculare pe aceasta dreapta ceea ce ne este suficient pentru problema.
Luam o curba \( \alpha \) in suprafata ce trece prin q (\( \alpha(0)=q \)) si notam cu \( f(t) \) distanta (la patrat) de la p la \( \alpha(t) \). Atunci f este diferentiabila si are un maxim in 0, deci f'(0)=0. Adica \( (<\alpha(t)-p,\alpha(t)-p>^2)\prime |_0=0\Rightarrow <q-p,\dot{\alpha}(0)>=0 \). De aici rezulta ca orice vector tangent la suprafata in punctul q este perpendicular pe q-p. Asadar tot planul tangent este perpendicular pe q-p. Analog cu planul tangent in punctul p.

ii) Nu mai ramane adevarata afirmatia in cazul general (daca in schimb curba este plana rezultatul e adevarat si se face analog): luam o elipsa, e clar ca distanta maxima se obtine atunci cand p si q sunt diametral opuse pe raza mare a elipsei. Luam elipsa si o rasucim putin de la mijloc astfel incat sa nu mai fie plana si sa nu afecteze niste vecinatati mici in jurul lui p si q. In acest fel am rotit si dreptele tangente in punctele p si q iar acu ele nu mai sunt coplanare - deci nu pot fi paralele - vor fi totusi nesecante.