Caracterizare pt intregii primi care raman primi si in Z[i]
Posted: Thu Dec 06, 2007 8:00 pm
Dem ca un numar prim intreg p este prim in Z <=> \( X^2+1 \) e ireductibil in \( \mathbb{Z}_p[X] \).
Cazul p = 2 se rezolva repede. Sa consideram p > 2.
"=>" Daca p e prim in Z.
Pp. prin absurd ca \( X^2+1 \) e reductibil, deci are radacina \( \lambda \).
\( \lambda^2 = 1 \) in \( Z_p \), deci \( p|(\lambda^2+1)\Rightarrow p|(\lambda + i)(\lambda - i) \), deci p devine una din ele (fiind prim), evident absurd. Deci polinomul e ireductibil
"<=" Daca polinomul e ireductibil.
Z e euclidian => principal => exista cmmdc => prim = ireductibil.
Presupunem prin absurd ca p nu e prim, deci e reductibil, deci \( p = ab \), unde a si b au normele >1. Obtinem \( N(a)=N(b)=p \), deci p se scrie sub forma \( m^2+n^2 \). Trecand modulo 4 obtinem \( p\equiv 1(mod 4) \). De aici, putem folosi 3 chestii:
1) Teorema lui Wilson, si aratam ca daca \( p\equiv 1(mod 4) \), atunci \( x^2=-1 \) are solutii in \( Z_p \).
2) Simbolul lui Legendre, care zice acelasi lucru, dar mai direct putin.
3) Orice grup comutativ are subgrupuri de orice ordin care divid ordinul grupului. Deci \( Z_p* \) are un subgrup de ordin 4. Cum \( Z_p* \) e ciclic avem ca orice subgrup al sau e ciclic, deci si cel de ordin 4, deci avem un element de ordin 4 si am ajuns tot acolo.
Deci \( X^2+1 \) ar fi reductibil, absurd. Deci p e prim.