mateforum.ro

Fie \( x,y,z \) numere reale distincte. Sa se arate ca:

\( \sqrt[3]{x-y}+\sqrt[3]{y-z}+\sqrt[3]{z-x} \neq 0. \)


Bibliografie:

1. T. Andreescu, R. Gelca - Putnam and Beyond.

Foarte interesanta problema. Intr-adevar, din faptul ca \( x, y, z \) sunt numere reale distincte rezulta ca si produsul numerelor \( a=\sqrt[3]{x-y}, b=\sqrt[3]{y-z} \) si \( c=\sqrt[3]{z-x} \) este nenul. Acum, folosim binecunoscuta identitate \( a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \).
Daca, prin absurd, \( a+b+c=0 \), atunci o sa rezulte ca \( -3abc=0 \), ceea ce reprezinta o contradictie.