mateforum.ro

Dat fiind un numar intreg \( n > 2 \), determinati valoarea maxima pe care o poate luma suma a \( n \) numere reale \( x_1,x_2,\ldots,x_n \) strict mai mari decat \( 1 \), supuse conditiilor
\( x_i^2 \geq (x_i-1)(x_1+x_2+\ldots+x_n) \ \ \ (\forall) 1\leq i \leq n \).
Ce se intampla cand \( n=2 \) ?

Solutiile oficiale sunt deja pe topicul dedicat, astfel ca voi "sparge linistea" cu o varianta simplificata a ceea ce am scris în concurs.
Evident pentru \( n = 2 \) suma este nemarginita superior. In caz contrar, sa introducem ordinea \( x_1 \ge x_2 \ge ... \ge x_n > 1 \). Sa notam \( S = x_3 + ... + x_n \). Din conditia pentru \( i = 1 \), se deduce facil \( x_1 \le \frac{x_2 + S}{x_2 + S - 1} \). Maximul sumei este atins pentru \( x_1 \) maxim, deci egal cu \( \frac{x_2 + S}{x_2 + S - 1} \), si cu necesitate \( \frac{x_2 + S}{x_2 + S - 1} \ge x_2 \), ceea ce implica \( S \le \frac{x_2(2 - x_2)}{x_2 - 1} \).
Pentru \( x_2 \ge \frac{n}{n - 1} \), are loc \( \frac{x_2(2 - x_2)}{x_2 - 1} \le (n - 2)x_2 \), deci \( S \le (n - 2)x_2 \), astfel incat putem alege \( x_3, ..., x_n \) cu suma \( S \in \left( n-2, \frac{x_2(2 - x_2)}{x_2 - 1} \right] \). Insa \( x_1 + ... + x_n \) este maxim pentru \( x_2 + S \) maxim, si totodata \( x_2 + S \le \frac{x_2}{x_2 - 1} \), maxima pentru \( x_2 \) minim, deci \( x_2 = \frac{n}{n - 1} \) (din presupunerea de la inceput), iar \( S = \frac{n(n-2)}{n-1} = (n-2)x_2 \), adica \( x_2 = x_3 = ... = x_n \), deci maximul se atinge pentru toate \( x_k \) egale cu \( \frac{n}{n-1} \) si este \( \frac{n^2}{n-1} \).
Ne mai ramane cazul \( x_2 \le \frac{n}{n-1} \), care este insa trivial deoarece ordinea asupra variabilelor ne conduce la \( S \le (n - 2)x_2 \), deci maximul lui \( x_2 + S \) se atinge pentru toate \( x_2 = ... = x_n \), si din nou \( x_1 = ... = x_n = \frac{n}{n-1} \) si \( \sum x_k = \frac{n^2}{n-1} \).