mateforum.ro

Intr-un cub de latura 1 se considera n sfere cu suma ariilor suprafetelor lor egala cu 32.
a) Sa se arate ca exista o dreapta care taie cel putin 9 sfere.
b) Sa se arate ca exista un plan care taie cel putin 11 sfere.

a) Proiectam sferele pe una din fetele cubului si obtinem pe aceasta fata n discuri cu suma ariilor lor egala cu 8, de opt ori aria fetei.
Aparent avem doua cazuri:
a1) Fiecare punct de pe fata este acoperit de exact 8 discuri.
a2) Exista puncte pe fata acoperite de cel putin 9 discuri (si altele de mai putine)
Cazul a1) nu este posibil, caci un patrat nu poate fi acoperit cu un numar finit de discuri inchise (fiecare punct de pe frontiera necesita cate un disc).
In cazul a2) o dreapta perpendiculara pe fata, dusa printr-un punct acoperit de 9 discuri taie 9 sfere (care s-au proiectat in cele 9 discuri).