mateforum.ro

Fie un triunghi \( ABC \) si fie \( D \) piciorul inaltimii dusa din varful \( B \) (\( D \) se afla pe segmentul \( AC \)). Fie cercul de diametru \( BD \) si fie \( K \), respectiv \( L \), punctele in care cercul taie laturile \( AB \), respectiv \( BC \). Tangentele la cerc in \( K \), respectiv \( L \) se intersecteaza in \( M \).
Sa se arate ca \( BM \) este mediana triunghiului \( ABC \).
SERBIA

Fie \( \{P\}=BM\cap KL \) si \( \{Q\}=AC\cap BM \)

Atunci \( \frac{KP}{PL}=\frac{AQ}{QC}\cdot\frac{BK}{BL}\cdot\frac{BC}{BA} \)

si de aici rezulta ca Q e mijloc.

Intr-adevar in triunghiurile BML si BMK din teorema sinusurilor

\( \frac{sin \angle{MBL}}{sin \angle{MBK}}=\frac{sin \angle{C}}{sin \angle{A}}
\)

Pe de alta parte folosind arii \( \frac{sin \angle{MBL}}{sin \angle{MBK}}\cdot\frac{BL}{BK}=\frac{AL}{AK} \)