Page 1 of 1
IMAC 2010 Problema 4
Posted: Wed Jun 02, 2010 3:01 pm
by Andi Brojbeanu
Fie \( M \) si \( N \) mijloacele diagonalelor \( [AC] \) si \( [BD] \) ale patrulaterului inscriptibil \( ABCD \). Sa se arate ca: \( \frac{|AC-BD|}{2}\le MN\le \frac{AC+BD}{2} \).
Posted: Thu Jun 03, 2010 12:43 pm
by Marius Mainea
\( \vec{MN}=\frac{\vec{AB}+\vec{CD}}{2} \)
Posted: Sat Jun 05, 2010 5:45 pm
by Spataru Stefan
Ati putea da o solutie care sa nu utilizeze vectori?(la nivelul clasei a VII-a)
Posted: Sat Jun 05, 2010 9:59 pm
by Virgil Nicula
Fie \( M \) si \( N \) mijloacele diagonalelor \( [AC] \) si \( [BD] \) ale patrulaterului inscriptibil \( ABCD \). Sa se arate ca: \( \frac{|AC-BD|}{2}\le MN\le \frac{AC+BD}{2} \).
Metoda de mai jos
nu utilizeaza vectorii si
NU este la nivelul clasei a VII - a.
Metoda 2. Notam
\( AB=a \) ,
\( BC=b \) ,
\( CD=c \) ,
\( DA=d \) ,
\( AC=e \) ,
\( BD=f \) si mijloacele
\( X \) ,
\( Y \) ale laturilor
\( [AB] \) ,
\( [BC] \) respectiv. Vom folosi relatiile
\( ef=ac+bd \) (
Ptolemeu) si
\( e^2+f^2+4\cdot MN^2= \) \( a^2+b^2+c^2+d^2 \) (
Euler).
In
\( \triangle MNX \) avem
\( XM=\frac b2 \) si
\( XN=\frac d2 \) . Deci
\( \frac {|b-d|}{2}\ \le\ MN\ \le\ \frac {b+d}{2} \) .
In
\( \triangle MNY \) avem
\( YM=\frac a2 \) si
\( YN=\frac c2 \) . Deci
\( \frac {|a-c|}{2}\ \le\ MN\ \le\ \frac {a+c}{2} \) .
Relatiile Euler & Ptolemeu \( \ \Longrightarrow\ (e-f)^2+4\cdot MN^2=(a-c)^2+(b-d)^2\ \le\ 8\cdot MN^2\ \Longrightarrow\ \frac {|e-f|}{2}\ \le\ MN \) .
Relatiile Euler & Ptolemeu \( \ \Longrightarrow\ (e+f)^2+4\cdot MN^2=(a+c)^2+(b+d)^2\ \ge\ 8\cdot MN^2\ \Longrightarrow\ \frac {|e+f|}{2}\ \ge\ MN \) .
Posted: Sun Jun 06, 2010 7:46 pm
by Spataru Stefan
Nu este la nivelul clasei a VII-a dar am inteles-o. Frumoasa solutie.