mateforum.ro

Fie \( a, b, c \) numere naturale mai mari sau egale cu \( 2 \). Aratati ca \( a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\le (a+b+c-4)(a+b+c-5)+4 \).

Efectuam calculele si notam \( a+b+c-4=x \):

\( a^2-a+b^2-b+c^2-c \le x^2-x+4 \)
\( \Longleftrightarrow a^2-a+b^2-b+c^2-c \le a^2+b^2+c^2+16+2ab+2ac+2bc-8a-8b-8c-a-b-c+4+4 \)
\( \Longleftrightarrow 2ab+2ac+2bc-8a-8b-8c+24 \ge 0 \)
\( \Longleftrightarrow ab+ac+bc-4a-4b-4c+12 \ge 0 \)
\( \Longleftrightarrow (a-2)(b-2)+(a-2)(c-2)+(b-2)(c-2) \ge 0 \) ceea ce e adevarat pentru orice numere REALE mai mari sau egale cu 2. Nu e de mirare ca au luat maxim multi elevi. Anul acesta la a 8-a au fost prea usoare. Sau asa mi se pare.