mateforum.ro

Fie \( a_{1}, a_{2}, ... ,a_{10} \) numere reale pozitive astfel incat \( a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}=1 \). Sa se arate ca
\( \sqrt{a_{1}a_{2}}+\sqrt{a_{2}a_{3}}+\ldots+\sqrt{a_{9}a_{10}} \leq \cos{\frac{\pi}{11}}. \)

Suficiente solutii pe ML, chiar de prin 2004:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=4362
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=112911#112911.

Intr-adevar e originala, si mult mai provocatoare in forma "gasiti maximul \( \sqrt{a_1a_2} + ... \)". Se pare ca sursa e Iasi '98 (nationala, locala? ca nu reiese nimic din ce se spune pe-acolo). Ideea mea a fost cu functia de gradul II, si pana la urma e suficient sa aratam ca, daca

\( t_0 = t \)
\( t_{k+1} = t - \frac{1}{4t_k} \), \( \forall k \in \mathbb{N} \),

atunci \( t_{n-2} = 0 \), pentru \( t = \cos \frac{\pi}{n} \).

Consideram polinoamele
\( P_n = \prod_{k=1}^{n-1} \left( t - \cos \frac{k\pi}{n} \right) \in \mathbb{R}[t] \), \( n \ge 1 \),
prin conv. \( P_1 \equiv 1 \), si problema ar fi solutionata daca am reusi sa aratam \( t_{k} = \frac{P_{k+2}}{P_{k+1}} \). Inductiv, aceasta se reduce la
\( P_{n+2} = t \cdot P_{n+1} - \frac{P_n}{4} \).
De aici, poate gasesc o continuare cei mai specializati in identitati de-astea, cel putin personal nu vad nimic

Se pare ca identitatea este corecta, astfel incat ceea ce am scris mai sus se adauga la setul de solutii cunoscute (si rezolvarea se face identic in cazul general, pentru \( n \) variabile):
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=174989.