mateforum.ro

Intr-un inel unitar cu \( p^2 \) elemente ,p prim ,exista cel mult p-2 divizori bilaterali ai lui 0 .Atunci acest inel este corp.

Alin Galatan si Octav Ganea

Fie (A,+,*) inelul din ipoteza.
Presupunem prin absurd ca exista doua elemente m si n nenule cu mn=0.
Cum ordinul lui m in (A,+) divide \( p^2 \) inseamna ca ord(m)=p sau \( p^2 \).
Daca ordinul lui m este p atunci \( m,m^2,...m^{p-1} \) sunt divizori ai lui zero insa acestia sunt in numar de p-1 deci contradictie.
Analog daca ordinul lui m e \( p^2 \).
Cum presupunerea facuta este falsa rezulta ca nu avem elemente nenule divizori ai lui zero.
Dar intr-un inel finit oricare element e fie divizor al lui zero fie inversabil, rezulta ca toate elementele nenule sunt inversabile rezulta ca (A,+,*) e corp.

Cred ca vrei sa spui \( m,2m,3m,...(p-1)m \)sunt divizori ai lui 0.

da. puterile sunt considerate in grupul (A,+)

Nu ,ca am inteles ,dar nu era riguros ,pt ca se putea interpreta altceva.