mateforum.ro

Fie \( f:R\to R \) o functie crescatoare cu proprietatea ca:
\( \lim_{n\to \infty}f(x-\frac{1}{n})= \lim_{n\to \infty}f(x+\frac{1}{n}) \) oricare ar fi\( x\in R. \) Sa se arate ca f este continua.
Multumesc mult

Sa presupunem ca \( f \) e discontinua. Fiind crescatoare are doar discontinuitati de speta 1 si atunci presupunem:
\( \lim_{x\to x_0 \\ x<x_0} f(x)<f(x_0)\leq \lim_{x\to x_0\\x>x_0}f(x) \) caci \( f \) e crescatoare.
Cum inegalitatile sunt independente una de cealalta, alegem in stanga \( x_n=x_0-\frac{1}{n} \), iar in dreapta \( y_n=x_0+\frac{1}{n} \) care si ele respecta inegalitatile, astfel ca:
\( \lim_{n\to\infty}f(x_0-\frac{1}{n})<f(x_0)\leq\lim_{n\to\infty}f(x_0+\frac{1}{n})\rightarrow a<f(x_0)\leq a \) imposibil, deci \( f \) e continua.