mateforum.ro

Daca a,b,c e R pozitiv fara 0, de se demonstreze ca 2(ab/(a+b) + bc/b+c +ca/c+a)=a+b+c , daca si numai daca a=b=c

Se aplica inegalitatea mediilor, intre media aritmetica si cea armonica, si se obtine cazul de egalitate.

DrAGos Calinescu wrote:Se aplica inegalitatea mediilor, intre media aritmetica si cea armonica, si se obtine cazul de egalitate.

ma puteti ajuta , am incercat dar nu imi iese egalitatea

Din egalitatea mediilor avem
\( \frac{2bc}{b+c}\le\frac{b+c}{2} \)
Scriind analoagele si insumandule obtinem
\( \frac{2bc}{b+c}+\frac{2ac}{a+c}+\frac{2ab}{a+b}\le \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c \)
In enunt avem egalitate deci trebuie sa avem egalitate in inegalitatea mediilor.
Cazul de egalitate din inegalitatea mediilor se atinge atunci cand cele doua numere sunt egale.
In cazul nostru \( a=b=c \)

DrAGos Calinescu wrote:Din egalitatea mediilor avem
\( \frac{2bc}{b+c}\le\frac{b+c}{2} \)
Scriind analoagele si insumandule obtinem
\( \frac{2bc}{b+c}+\frac{2ac}{a+c}+\frac{2ab}{a+b}\le \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c \)
In enunt avem egalitate deci trebuie sa avem egalitate in inegalitatea mediilor.
Cazul de egalitate din inegalitatea mediilor se atinge atunci cand cele doua numere sunt egale.
In cazul nostru \( a=b=c \)

Din al doilea rezultat ce reiese , tot nu inteleg

Prima parte e media armonica ,a2a e aritmetica iar pt a,b,c avem \( H(a,b)+H(b,c)+H(c,a)=A(a,b)+A(a,c)+A(b,c) \)din ipoteza.din inegalitatea mediilor daca de ex \( a<b=>\frac{2ab}{a+b}<\frac{a+b}{2} \),deci \( H(a,b)+H(b,c)+H(c,a)<A(a,b)+A(b,c)+A(c,a) \) contradictie cu ipoteza.Am notat \( A(x,y)=\frac{x+y}{2} ,H(x,y)=\frac{2xy}{x+y} \).Acu sper ca ai inteles.Oricum Dragos explicase foarte bine.