mateforum.ro

Se considera doua paralelograme \( ABCD \) si \( XYZT \) (situate in acelasi plan). Sa se arate

ca mijloacele segmentelor \( [AX] \) , \( [BY] \) , \( [CZ] \) , \( [DT] \) sunt varfurile unui paralelogram.

Fie M,N,P,Q mijloacele segmentelor AX,BY,CZ,DT si a,b ; x,y laturile celor doua paralelograme.Calculam lungimea segmentului MN astfel:construim paralelogramul ajutator ABYA' si luam M' mijlocul lui XA' ; atunci MM' este linie mijlocie in AA'X si deci MNYM' este paralelogram de unde rezulta ca MN = YM' si este mediana in triunghiul A'YX ce se exprima numai in functie de a,x si unghiul dintre cele 2 paralelograme initiale.
In mod analog se calculeaza lungimea segmentului PQ ca fiind o mediana ZP' in triunghiul D'TZ ce se exprima la fel ca si MN deci MN=PQ si MN paralel cu PQ q.e.d.
Mai mult rezulta ca lungimea segmentului MN = PQ este constanta cand segmentele AB si XZ aluneca pe dreptele suport initiale .

Se considera doua paralelograme \( ABCD \) si \( XYZT \) (situate in acelasi plan). Sa se arate

ca mijloacele segmentelor \( [AX] \) , \( [BY] \) , \( [CZ] \) , \( [DT] \) sunt varfurile unui paralelogram.

Demonstratie. Notam mijloacele \( M \) , \( N \) , \( P \) , \( R \) ale segmentelor \( [AX] \) , \( [BY] \) , \( [CZ] \) , \( [DT] \) respectiv si \( U\in AC\cap BD \) , \( V\in XZ\cap YT \) . Vom folosi o proprietate cunoscuta sau usor de dovedit : intr-un patrupunct (nu neaparat in plan sau daca-i in plan, nu neaparat convex !) bimedianele au mijlocul comun (centrul de greutate al sistemului fizic format din varfurile patrupunctului dat). Astfel pentru patrupunctele \( ACZX \) , \( BDYT \) se obtine ca segmentele \( [MP] \) , \( [NR] \) , \( [UV] \) au acelasi mijloc. In particular segmentele \( [MP] \) , \( [NR] \) se taie in segmente egale ceea ce inseamna ca patrulaterul \( MNPR \) este un paralelogram.