mateforum.ro

Pe o tabla de sah 2009x2009 sunt asezati \( 2009^2 \) pioni , cate unul in fiecare casuta. Fiecare pion se muta intr-o casuta, care are o latura comuna cu casuta lui . Sa se arate ca ramane o casuta libera.

*** G.M.

Cum tabla de sah are un numar impar de patratele inseamna ca numarul patratelelor albe difera de cel al patratelelor negre.
Acum presupunem ca sunt mai multe albe.
La mutarea unui pion, acesta schimba culoarea patratului in care se afla.
Notam cu \( a \) numarul patratelor albe si \( n \) numarul patratelor negre.
\( a>n \) si cei \( a \) pioni initial aflati pe patratele albe trebuie sa treaca pe patratele negre.
Deci acum avem \( a \) pioni in \( n \) patrate cu \( a>n \), fapt ce poate fi realizat numai daca pe cel putin un patrat negru se afla mai mult de un pion, ceea ce rezulta ca cel putin un patrat va ramane liber.