mateforum.ro

Fie G un grup astfel incat ordinul oricarui element \( x \in G \), in afara de e, este numarul p. Sa se arate ca daca orice submultime cu \( p^2 -1 \) elemente contine \( p \) elemente ale lui G ce comuta intre ele, atunci G e abelian.

Unirea 2004

De ce a fost sters postul lui baetica?Tocmai vroiam sa ma mai uit odata peste rezolvare ca sa-mi reimprospatez ideile.

Nu a fost sters. Cel putin, eu nu l-am sters! Ar trebui sa-l intrebi chiar pe dansul de ce l-a sters. Oricum, nu mi se pare elegant sa faci asta. Oricum, nu te poti astepta la altceva din partea lui bae.

Voi posta eu din nou rezolvarea(ca tot ti-am promis asta Theo )
Fie a si b doua elemente din G astfel incat b sa nu fie o putere a lui a sau invers.
Demonstram pentru inceput ca daca \( a^nb=ba^n \) atunci ab=ba oricare ar fi n<=p;

Cum (n;p)=1 rezulta ca exista x si y astfel incat nx+yp=1 rezulta ca nx=1-yp.
Din \( a^nb=ba^n \) inmultind cu \( a^n \) obtinem \( a^{2n}b=ba^{2n} \).
Reluand procesul de x ori obtinem \( a^{xn}b=ba^{xn} \) care e totuna cu \( a^{1-yp}b=ba^{1-yp} \) echivalent cu ab=ba.
Asadar daca exista un n astfel incat \( a^nb=ba^n \) atunci a si b comuta.

Fie H=<b> si fie multimea \( S=H \cup a^1H\cup a^2H ... \cup a^{p-1}H -\{e\} \)
unde multimile \( a^iH \) sunt disjuncte.
Multimea S are \( p^2-1 \) elemente. Cum H are p-1 elemente care comuta(toate fiind puteri ale lui b) inseamna ca exista un element x apartinand lui \( a^iH \) care sa comute cu toate elementele multimii H.
De aici rezulta ca \( a^ib=ba^i \) si conform celor demonstrate la inceput ab=ba.
Cum a si b au fost alese aleator rezulta ca G este abelian.