mateforum.ro

Sa se arate ca in \( \triangle ABC \) exista lantul de inegalitati

\( \frac 45\ <\ \underline{\overline{\left\|\ 3\cdot\left(2-\sqrt 3\right)\ \le\ \tan\ \frac A4+\tan\ \frac B4+\tan\ \frac C4\ <\ 1\ \right\|}} \)

Observatie. Inegalitatea din stanga este inegalitatea Jensen aplicata functiei convexe \( \underline {\tan} \) pe \( \left(0,\frac {\pi}{4}\right) \) .

La nivelul clasei a IX - a doresc doar o demonstratie/interpretare geometrica a acestei inegalitati petru \( n=3 \) :

Inegalitatea Jensen : \( f \) - convexa pe intervalul \( I \) si \( \{x,y,z\}\subset I\ \Longrightarrow\ f\left(\frac {x+y+z}{3}\right)\le \frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3} \) .

Eu am obtinut o dezvoltare destul de frumoasa a sumei \( \sum\tan\ \frac A4 \) :

\( \sum\tan\ \frac A4=\sum\frac{1-\cos\frac A2}{\sin\frac A2}=\sum\frac{1-\frac{p-a}{AI}}{\frac{r}{AI}}=\sum\frac{AI-p+a}{r}=\frac{AI+BI+CI-p}{r} \) .

Si cu aceasta inegalitatea se poate reduce la : \( \fbox{\ 3r(2-sqrt 3)+p\ \le\ AI+BI+CI\ <\ r+p\ } \) .

Frumoasa echivalenta ! Vezi aici in mesajul meu o solutie ...