mateforum.ro

Sa se rezolve ecuatia

\( 2^{x}+2^{\frac{1}{x}}=4 \).

Demonstrati (la nivel de clasa a X - a) ca daca \( a>1 \) atunci functia \( f(x)=a^x+a^{\frac 1x} \), \( x>0 \)

este strict descrescatoare pana in \( 1 \) si este strict crescatoare dincolo de \( 1 \).

Observatie. Cazul \( a\in (0,1) \) se poate trata doar cu analiza (clasa a XI - a!).

Virgil Nicula wrote:Demonstrati (la nivel de clasa a X - a) ca functia \( f(x)=a^x+a^{\frac 1x} \) , \( x>0 \) este strict descrescatoare pana in \( 1 \) si este strict crescatoare dincolo de \( 1 \).

Observatie. Cazul \( a\in (0,1) \) se poate trata doar cu analiza (clasa a XI - a!).

Ceva mai general: functia \( f(x)=a^x+a^{\frac bx} \), \( x>0 \),
este strict descrescatoare pe \( [0, \sqrt b ] \) si este strict crescatoare dincolo de \( \sqrt b \).
Se observa ca \( f(x)=f(\frac bx) \).
Deci o ecuatie de genul \( f(x)=c \) are cel mult doua solutii si daca \( x_{0} \) este solutie atunci celalta solutie este \( \frac {b}{x_{0}}. \)

Aplicam inegalitatea mediilor si obtinem

\( \frac {2^x + 2^{1/x}}{2} \geq \sqrt{2^{x+1/x}} \geq 2 \). Deci \( 2^x+2^{1/x} \geq 4 \). Dar noi avem egalitate, deci \( 2^x=2^{1/x} \), de unde \( x^{2}=1 \), deci \( x=1 \) deoarece ecuatia nu poate avea solutii negative.