mateforum.ro

Sa se rezolve ecuatia:

\( 2^{x-1}+2^{\frac{1}{\sqrt{x}}}=3. \)

Marius Cavachi, G.M. 1988

Conditia de existenta impune \( x>0 \).

Inmultind cu \( 2 \) egalitatea obtinem \( 2^x+2\cdot 2^{\frac{1}{\sqrt x}}=6. \)

Dar din \( AM-GM \) avem \( 2^x+2\cdot 2^{\frac{1}{sqrt x}}\ \ge\ 3\sqrt[3]{2^x\cdot 2^{\frac{1}{\sqrt x}}\cdot 2^{\frac{1}{\sqrt x}}}=3\sqrt[3]{2^{x+\frac{2}{\sqrt x}}}\ \ge\ 3\sqrt[3]{2^3}=6 \), cu egalitate cand \( x=\frac{1}{\sqrt x} \), adica pentru \( x=1 \).

Fiind chiar in cazul de egalitate rezulta ca \( x=1 \) este solutie unica.

Un exercitiu aproape identic s-a dat la concursul argesean "Dan Barbilian" 2008.

Sa se rezolve ecuatia:
\( 3^{x-1}+3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}} = 4 \)