mateforum.ro

Consideram trei numere reale \( a \) , \( b \) , \( c \) . Sa se arate ca exista identitatea simetrica

\( 4\cdot\max \left\{\|a-b|\ ,\ |b-c|\ ,\ |c-a|\\right\}=2\cdot |b-c|+\left|b+c+|b-c|-2a\right|+\left|b+c-|b-c|-2a\right| \).

Se poate transforma membrul drept intr-o expresie invarianta la permutari circulare si atunci putem aplica scurtatura: "putem presupune fara a restrange generalitatea ca a>b>c"; varianta cu egalitate a=b=c este evidenta.

Alte variante:

2. Observam ca max{A,B,C} = max{A,max{B,C}} si ca max{A,B} =(A+B+|A-B|)/2 etc.

3. Fie |a-b| = x, |b-c| = y, |c-a| = z cu x, y, z pozitive. Atunci egalitatea ce trebuie demonstrata se transforma in 2max{x,y,z} = x+y+z invarianta la permutarile variabilelor x,y,z intre ele. Cu a-b = ± x, b-c = ± y, c-a =± z si apoi adunand rezulta ± x ± y ± z = 0 cu 8 combinatii posibile dintre care 2 dau x+y+z=0 si deci x=y=z=0 care verifica imediat egalitatea ceruta, iar celelalte 6 dupa trecerea celor cu minus in fata in dreapta egalitatii dau x=y+z si permutarile circulare care este echivalent cu "cel mai mare este suma celorlalte doua”; dar conform cu observatia de mai sus putem presupune fara a restrange generalitatea ca x>y>z, deci trebuie demonstrat ca 2x = x+y+z = x+x evident.