Admitere master algebra 2009

[dede]

1. Teorema lui Lagrange: enunt si demonstratie. Ordinul unui element intr-un grup: definitie. Aratati ca ordinul unui element dintr-un grup finit divide ordinul grupului.
Sa se determine ordinele elementelelor \( \sigma = \left( \begin 1 \ \ 2 \ \ 3 \\ 2 \ \ 3 \ \ 1 \right) \) si \( \tau = \left( \begin 1 \ \ 2 \ \ 3 \\ 1 \ \ 3 \ \ 2 \right) \) in grupul simetric \( S_3 \).

2. Morfisme de inele: definitie si proprietati. Imaginea si nucleul unui morfism. Teorema fundamentala de izomorfism pentru inele: enunt si demonstratie.

3. Consideram matricea \( A=\left( \begin 0 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1 \right) \in M_4({\mathbb C} ) \)
Sa se determine polinomul caracteristic, polinomul minimal, factorii invarianti si forma canonica Jordan ale matricei \( A \).