mateforum.ro

Aratati ca : \( \sqrt {d^2 - 2ad(\sqrt 3 \cos x + \sin x) + 4a^2 } + \sqrt {d^2 + 2bd(\sqrt 3 \cos x - \sin x) + 4b^2 } + \sqrt {d^2 + 2cd\sin x + c^2 } \ge 2a + 2b + c\forall a,b,c,d \ge 0 si x \in R \)

Notam \( 2a=m, 2b=n, c=p, y=\frac{\pi}{6}-x \) inegalitatea este echivalenta cu

\( \sqrt{d^2-2dm\cos y+m^2}+\sqrt{d^2-2dn\cos (y+\frac{2\pi}{3})
+n^2}+\sqrt{d^2-2dp\cos (\frac{2\pi}{3}-y)
+p^2}\ge m+n+p \)

sau

\( MA+MB+MC\ge TA+TB+TC \) unde T este punctul lui Torricelli pentru triunghiul ABC si M un punct oarecare in plan.