mateforum.ro

Fie \( (G, \cdot) \) grup cu elementul neutru e si \( a\in G , n\in \mathbb{N} \) astfel incat \( x^{n+2}=(ax)^n \) , \( (\forall)x\in G \). Demonstrati ca \( x^2=e, (\forall)x\in G \).

M. Mainea

Pe cazul n impar se rezolva simplu deoarece din relatie din ipoteza pt. \( x=e=>a^n=e ;x=a=>a^{n+2}=a^{2n}<=>a^{n-2}=e=>a^2=e \) iar daca n este impar avem \( a^{(n,2)}=e<=>a=e. \)
Pe cazul n par \( x\rightarrow (ax)=>x^2(ax)^2=e<=>axax^3=e;a^2=e=>x^3=ax^{-1}a;x=ax^{-3}a<=>x^3=ax^{-9}a=>x^8=e \). Se mai obtine\( x^{2n+2}=e \) coroborat cu \( x^8=e \) rezulta \( x^{\({2n+2},8\)}=e<=>x^2=e \) si de aici G este abelian.