mateforum.ro

Sa se arate ca un sir neconstant de numere naturale nenule \( (x_n)_{n\ge 0} \) este o progresie aritmetica daca si numai daca exista \( a\ >\ 0 \) astfel incat \( x_{n+1}=x_n+\left\[\frac{x_n}{n+a}\right\],\ \forall n\in\mathbb{N} \).


ONM 1988

Necesitatea rezulta alegand \( a\in (\frac{a_0}{r+1},\frac{a_0}{r}] \) (r - ratia progresiei).

Suficienta rezulta demonstrand prin inductie ca \( x_n=x_0+n\[\frac{x_0}{a}\] \), \( n\ge 0 \).