mateforum.ro

Intr-un patrat de latura 1 se afla o figura convexa de arie cel putin \( \frac{1}{2} \). Demonstrati ca exista o dreapta paralela cu una dintre laturile patratului care intersecteaza figura dupa un segment de lungime cel putin \( \frac{1}{2} \).

Figura convexa din cadrul patratului poate fi "inscrisa" intr-un dreptunghi de latura orizontala a si verticala b, astfel incat fiecare latura a dreptunghiului sa fie tangenta (cel putin) figurii date. Fara a restrange generalitatea, translatam dreptunghiul in coltul de jos al patratului.

Figura fiind convexa, exista functiile \( f \mbox {si} g : [0, a] \to [0, b] \) astfel incat aria sa fie egala cu \( \int\limits_0^a {(f(x) - g(x))dx} \) \( \ge \) \( \frac{1}{2} \) = \( \int\limits_0^a {\frac{1}{{2a}}dx} \).
Rezulta ca exista \( x_0 \in [0, a] \) astfel incat \( f(x_0)-g(x_0)\ge\frac{1}{2a}\ge \frac{1}{2} \), ceea ce trebuia demonstrat.