mateforum.ro

Fie \( ABCDEF \) un hexagon convex in care \( \angle ABC= \angle DAF <90^{\circ} \) \( AB=EF \) si \( BC=DE \). Sa se arate ca mijloacele segmentelor \( AF, \ BE \) si \( CD \) sunt coliniare.
Cristinel Mortici

In enunt trebuia \( \angle{DEF} \) in loc de \( \angle{DAF} \).

Atunci folosind Teorema bisectoarei glisante obtinem ca cele trei puncte se afla pe o paralela la cele doua bisectoare (care sunt paralele) ale unghiurilor formate de dreptele (AB,FE) respectiv (BC,DE).

Se folosesc urmatoarele 2 teoreme:
1). Daca intr-un patrulater ABCD, \( M\in [BC] \) si \( N\in [AD] \) a. i. sa avem: \( \frac{|MA|}{|MD|}=\frac{|NB|}{|NC|}=\frac{|AB|}{|CD|} \),
iar \( \{O\}=AB\cap CD \), atunci dreapta MN este paralela cu bisectoarea unghiului \( \angle{AOC} \).
Consecinta:
In cazul in care |AB|=|CD|, punctele M si N sunt mijloacele segmentelor [AD] si respectiv [BC].
2). Daca intr-un patrulater ABCD(convex sau concav) doua unghiuri opuse sunt congruente,
atunci bisectoarele interioare ale celorlalte doua unghiuri opuse sunt paralele.
GENERALIZARE:
Fie: \( \triangle{ABC}\sim\triangle{FED} \)si fie punctele: \( M\in [AF], N\in [BE], P\in [CD] \) a.i.
\( \frac{|MA|}{|MF|}=\frac{|NB|}{|NE|}=\frac{|PC|}{|PD|}=r \); unde: r este raportul de asemanare al celor doua triunghiuri.
Sa se arate ca punctele M, N si P sunt coliniare.[/code]