mateforum.ro

Fie \( p, q\in\mathbb{R} \) si \( x_{1}, x_{2}, x_{3}\in\mathbb{R} \) radacinile ecuatiei \( x^3+px+q=0 \). Sa se arate ca \( x_{1}, x_{2}, x_{3}\in\mathbb{R} \) daca si numai daca \( 4p^3+27q^2\leq 0 \).

Cezar Lupu wrote:Fie \( p, q \in \mathbb{R} \) si \( x_{1,2,3} \in \mathbb{C} \) radacinile ecuatiei \( x^3+px+q=0 \). Sa se arate ca \( x_{1,2,3} \in \mathbb{R} \) daca si numai daca \( 4p^3+27q^2 \le 0 \).

Sa investigam astfel:
Daca \( p \ge 0 \), se observa ca \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = x^3 + px + q \) este strict crescatoare pe tot domeniul ei. Deci unica radacina reala trebuie sa fie tripla, adica
\( x^3 + px + q \equiv (x - x_1)^3 = x^3 - 3x_1x^2 + 3x_1^2x - x_1^3 \Rightarrow x_1 = 0 \Rightarrow p = q = 0 \),
si concluzia este imediata. Reciproc avem \( 0 \ge 4p^3 + 27q^2 \ge 4p^3 \ge 0 \), evident \( p = q = 0 \) iar \( x_1 = x_2 = x_3 = 0 \).
Acum presupunem \( p < 0 \). Studiind aceeasi \( f \), remarcam ca este strict crescatoare pe \( I_1 = (-\infty, -t] \) si \( I_3 = [t, \infty ) \), iar strict descrescatoare pe \( I_2 = (-t, t) \), unde \( t = \sqrt{-\frac{p}{3}} \). Se observa ca pentru ca \( x_{1,2,3} \in \mathbb{R} \) e necesar ca \( f(-t) \ge 0 \) si \( f(t) \le 0 \).
Insa \( f(\pm t) = q \pm \frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}} \). Daca \( q \ge 0 \), \( f(t) \le 0 \Rightarrow 0 \le q \le -\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}} \Rightarrow 4p^3 + 27q^2 \le 0 \). Daca \( q < 0 \), \( f(-t) \ge 0 \) implica \( -\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}} \ge -q > 0 \Rightarrow 4p^3 + 27q^2 \le 0 \). Din aceste considerente si reciproca rezulta relativ usor.