mateforum.ro

Fie \( ABC \) un tringhi echilateral cu centrul in \( O \). Sa noteaza \( P_{1},\ P_{2},\ P_{3} \) proiectiile lui \( P \) pe laturile \( BC,\ CA,\ AB \), iar \( A^{\prime},\ B^{\prime},\ C^{\prime} \) sunt mijloacele laturilor \( BC,\ CA,\ AB \). Sa se arate ca:

a) \( \vec{PP_{1}}+\vec{PP_{2}}+\vec{PP_{3}}=\frac{3}{2}\vec{PO} \)
b) \( \vec{PA^{\prime}}+\vec{PB^{\prime}}+\vec{PC^{\prime}}=\frac{3}{2}\vec{PO} \)

a) fie \( A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 \) punctele de intersectie ale celor trei paralele duse la cele trei laturi ale tringhiului cu laturile.

Atunci \( \overline{PP_1}=\frac{1}{2}(\overline{PA_1}+\overline{PA_2}) , \overline{PP_2}=\frac{1}{2}(\overline{PB_1}+\overline{PB_2}) , \overline{PP_3}=\frac{1}{2}(\overline{PC_1}+\overline{PC_2}) \)

Le adunam si rezulta concluzia.

b) \( \overline{P_1A^{\prime}}=\overline{PA^{\prime}}-\overline{PP_1} \) si analoagele.

Le adunam si gata.

P.S. Mai trebuie pusi niste indici la punctul b),respectiv la P-uri.