mateforum.ro

\( \mbox{Din teorema sinusurilor, avem: } \)
\(
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow\{ a=2R\sin A=2R\sin[\pi-(B+C)]=2R\sin(B+C)\\
b=2R\sin B\\
c=2R\sin C
\)
\( \mbox{Inlocuind acum valorile lui } a, b \mbox{ si } c \mbox{ in relatia }
a=b\cos C+c\cos B \mbox{, obtinem: } \)
\( 2R\sin(B+C)=2R\sin B\cos C+2R\sin C\cos B\Rightarrow \sin(B+C)=\sin B\cos C+\sin C\cos B. \)

Draguta demonstratie, mult mai simpla decat cea pe care o foloseam eu. Insa in prealabil trebuie dovedita relatia \( a=b\cdot\cos C+c\cdot\cos B\ (*) \) care implica ori extinderea de la primul cadran la semicerc, adica relatia \( \cos (\pi -x)=-\cos x \) , ori teorema cosinusului. De fapt relatia \( \sin (x+y)=\sin x\cdot\cos y+\sin y\cdot \cos x \) este exprimarea trigonometrica a teoremei Ptolemeu ! Intr-adevar, referindu-ne la doua unghiuri din primul cadran (dupa aceea se poate extinde la orice doua unghiuri dupa procedeul cunoscut), consideram un cerc \( w=C(O,R) \) de diametru \( [AB] \) , unde \( AB=1 \) si punctele \( \{M,N\}\subset w \) astfel incat dreapta \( AB \) separa \( M \) , \( N \) si \( m(\angle MAB)=x \) , \( m(\angle NAB)=y \) . Se observa ca \( MA=\cos x \) , \( MB=\sin x \) , \( NA=\cos y \) , \( NB=\sin y \) , \( MN=\sin (x+y) \) (din definitia lui SIN si COS pe primul cadran si \( 2R=AB=1 \)). Astfel, teorema Ptolemeu aplicata patrulaterului \( MANB \) inseamna \( AB\cdot MN=MA\cdot NB+MB\cdot NA \) , adica \( \sin (x+y)=\cos x\cdot\sin y+\sin x\cdot \cos y \) .

Observatie. Relatia \( (*) \) este ea insasi echivalenta cu teorema Ptolemeu ! Consideram diametrul \( [AD] \) in cercul circumscris triunghiului \( ABC \) . Se observa ca \( BD=2R\cos C \) , \( CD=2R\cos B \) . Asadar \( AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD \) \( \Longleftrightarrow \) \( 2R\cdot a=c\cdot 2R\cos B+b\cdot 2R\cos C \) , adica \( a=b\cdot \cos C+c\cdot\cos B \) .