Problema cu matrice de cub nul si care comuta intre ele
Posted: Thu Nov 01, 2007 11:02 am
Cezar a postat la clasa a XI-a o problema cu matrice http://www.mateforum.ro/viewtopic.php?t=428 :
daca A, B, C sint matrice complexe 3x3, toate de cub nul si care comuta intre ele, atunci \( ABC=0 \).
Banuiesc ca se poate face cu manipulari algebrice elementare, ca la clasa a XI-a, dar cred ca nu are rost. O asemenea problema nu spune mare lucru pentru un elev, e doar un exercitiu tehnic. Cind, de fapt, e doar un caz foarte particular al unor rezultate foarte generale de structura a algebrelor Lie nilpotente. Mai precis, are loc:
Teorema (Engel) (vezi, de exemplu, Helgason, p. 135):
Fie V un spatiu vectorial si g o subalgebra a algebrei gl(V) a endomorfismelor lui V constind numai din endomorfisme nilpotente. Atunci:
1. Exista un vector nenul \( v\in V \) a.i. Z(v)=0 pt. toti \( Z\in g \).
2. Exista o baza in care toate endomorfismele lui g se exprima prin matrice cu 0 pe si sub diagonala principala.
Corolar: \( X_1X_2\cdots X_s=0 \) pentru orice \( s\geq dim(V) \) si \( X_i\in g \).
La problema in chestie, \( V=C^3 \), dimV=3, iar g e generata de cele trei matrice nilpotente care comuta.
Dar problema se poate face si "de mina": e vorba sa arati ca in conditii de comutativitate, cele trei matrice se pot jordaniza intr-o aceeasi baza canonica.
Pe de alta parte, se vede ca problema pentru elevi se poate complica luind indici de nilpotenta diferiti pentru cele trei matrice. Probabil ca atunci e mult mai greu de tratat elementar.
L.O.
daca A, B, C sint matrice complexe 3x3, toate de cub nul si care comuta intre ele, atunci \( ABC=0 \).
Banuiesc ca se poate face cu manipulari algebrice elementare, ca la clasa a XI-a, dar cred ca nu are rost. O asemenea problema nu spune mare lucru pentru un elev, e doar un exercitiu tehnic. Cind, de fapt, e doar un caz foarte particular al unor rezultate foarte generale de structura a algebrelor Lie nilpotente. Mai precis, are loc:
Teorema (Engel) (vezi, de exemplu, Helgason, p. 135):
Fie V un spatiu vectorial si g o subalgebra a algebrei gl(V) a endomorfismelor lui V constind numai din endomorfisme nilpotente. Atunci:
1. Exista un vector nenul \( v\in V \) a.i. Z(v)=0 pt. toti \( Z\in g \).
2. Exista o baza in care toate endomorfismele lui g se exprima prin matrice cu 0 pe si sub diagonala principala.
Corolar: \( X_1X_2\cdots X_s=0 \) pentru orice \( s\geq dim(V) \) si \( X_i\in g \).
La problema in chestie, \( V=C^3 \), dimV=3, iar g e generata de cele trei matrice nilpotente care comuta.
Dar problema se poate face si "de mina": e vorba sa arati ca in conditii de comutativitate, cele trei matrice se pot jordaniza intr-o aceeasi baza canonica.
Pe de alta parte, se vede ca problema pentru elevi se poate complica luind indici de nilpotenta diferiti pentru cele trei matrice. Probabil ca atunci e mult mai greu de tratat elementar.
L.O.
