mateforum.ro

Fie \( a,b,c,d \) patru numere nenegative . Sa se demonstreze ca :

\(
(1-a+a^2)(1-b+b^2)(1-c+c^2)(1-d+d^2)\ge \left(\frac{abcd+1}{2}\right)^2 \)

Pentru \( a=b=c=d \) inegalitatea se reduce la \( 2(1-a-a^2)^2\ge 1+a^4 \)
\( \Longrightarrow 2(1-a-a^2)^2-1-a^4\ge 0 \Longleftrightarrow (1-a)^4\ge 0 \)

Folosind acest rezultat avem
\( 4(1-a+a^2)^2(1-b+b^2)^2\ge (1+a^4)(1+b^4) \)

Din inegalitatea \( (1+a^4)(1+b^4)\ge (1+a^2b^2)^2 \) vom avea

\( 2(1-a+a^2)(1-b+b^2)\ge (1+a^2b^2) \)
Analog obtinem si \( 2(1-c+c^2)(1-d+d^2)\ge (1+c^2d^2) \)
Scriem si inegalitatea \( (1+a^2b^2)(a+c^2d^2)\ge (1+abcd)^2 \)

Inmultind ultimele trei relatii obtinem concluzia.
Egalitatea are loc pentru \( a=b=c=d=1 \).