mateforum.ro

Daca x,y,z sunt reale atunci :

\( (x^2+y^2-z^2)(y^2+z^2-x^2)(z^2+x^2-y^2)\le(x+y-z)^2(y+z-z)^2(z+x-y)^2 \)

Kvant, M:423

\( (a+c-b)^2(b+a-c)^2=(a^2-(b-c)^2)^2=a^4-2a^2(b-c)^2+(b-c)^4 \). Dar \( (a^2+c^2-b^2)(b^2+a^2-c^2)=a^4-(b^2-c^2)^2 \). Deci ar fi de ajuns sa demonstram ca :

\( (b^2-c^2)^2+(b-c)^4\ge2a^2(b-c)^2 \) sau \( (b+c)^2+(b-c)^2\ge2a^2 \) sau \( b^2+c^2-a^2\ge0 \). Putem sa ne asumam ca : \( b^2+c^2-a^2\ge0, c^2+a^2-b^2\ge0, a^2+b^2-c^2\ge0 \) (daca unul este negativ atunci este trivial) . Apoi se inmultesc .

O inegalitate mai tare :

\( (x + y + z)^ 2 (x + y - z) ^2 (y + z - x) ^2 (z + x - y) ^2\geq\ 3(x^ 2+y^2+z^2 )(x^ 2 + y^ 2 - z^ 2 )(y ^2 + z ^2 - x^ 2 )(x ^2 + z ^2 - y^ 2 ) \).

WLOG x, y, z sunt nenegative.
Cel mult unul dintre x+y-z, y+z-x, z+x-y este negativ, de unde rezulta ca in acest caz o singura paranteza din stanga e negativa si inegalitatea este triviala.

Daca toate sunt pozitive atunci pot fi laturile unui trunghi atunci inegalitatea este echivalenta cu \( (p-x)(p-y)(p-z)\le 8xyz \) care este evidenta.