Page 1 of 1
Segmente intr-un paralelogram
Posted: Fri Jun 12, 2009 9:02 pm
by Andi Brojbeanu
Se considera paralelogramul \( ABCD \), \( E \) si \( F \) mijloacele laturilor \( [AB] \), respectiv \( [AD] \), \( \{G\}=CE\cap BD \), \( \{H\}=CF\cap BD \), \( \{P\}=FG\cap BC \), \( \{Q\}=EH\cap CD \). Aratati ca \( 3EF=2PQ \).
Mirela Marin, Iasi, Recreatii Matematice 1/2009
Posted: Fri Jul 10, 2009 3:42 am
by Virgil Nicula
Draguta problema pentru clasa a VII - a : transmiterea prin paralelism a raportului a doua segmente de pe o drepta.
Si cu toate acestea juniorii au tratat-o ... prin indiferenta. A trecut deja aprox. o luna de la postarea ei ......
Generalizare. Se considera paralelogramul \( ABCD \), punctele \( E\in (AB) \) si \( F\in (AD) \) astfel incat \( EF\parallel BD \), \( G\in CE\cap BD \), \( H\in CF\cap BD \), \( P\in FG\cap BC \), \( Q\in EH\cap CD \). Aratati ca \( \underline {\overline{\left\|\ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA}\ \right\|}} \).
Posted: Fri Nov 27, 2009 8:30 am
by moldovan ana
Se demonstreaza mai intai lema:
"medianele = segment varf-mijloc latura opusa'' intr-un paralelogram taie diagonala in 3 parti egale.
Apoi fie DB = 3x. Rezulta EF = 3x/2 (1), deoarece este linie mijlocie.
Din asemanarea FDG cu GPB rezulta DF/PB = DG/GB = 2x/x = 2, deci PB = 1/4 CB, rezulta PQ/DB = 3/4, deci PQ = 9x/4 (2).
Din (1) si (2) rezulta 3EF = 9x/2 = 2PQ, q.e.d.
Posted: Fri Nov 27, 2009 5:41 pm
by moldovan ana
Virgil Nicula wrote:Generalizare. Se considera paralelogramul \( ABCD \), punctele \( E\in (AB) \) si \( F\in (AD) \) astfel incat \( EF\parallel BD \), \( G\in CE\cap BD \), \( H\in CF\cap BD \), \( P\in FG\cap BC \), \( Q\in EH\cap CD \). Aratati ca \( \underline {\overline{\left\|\ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA}\ \right\|}} \).
Fie k = BE/BA raportul de asemanare; vom urmari cum se transmite acesta pe diagonala DB apoi pe latura AD si apoi pe latura BC.
Pt. usurinta urmaririi notam BE = x si EA = y; deci k = x/x+y; AF = a; FD = b, deci k = b/b+a si BP = m si PC = n.
Rezulta repede ca FE = (1-k)BD (1)
Avem asemanarile BEG ~ DCG => BE/DC = x/x+y = k = GB/GD
FDG ~ PBG => k = GB/GD = m/x = (m/BC)(AD/x) = (m/BC)/k
Deci k^2 = m/BC => n/BC = 1-k^2 = PQ/DB, deci PQ = (1-k^2)DB (2)
Din (1) si (2) rezulta PQ/FE = (1-k^2)/(1-k) = 1+k = 1 + BE/BA, q.e.d.