mateforum.ro

Rezolvati in numere prime ecuatia:
\( x^y+y^x=z \)

L.Petrescu,M.R.3/2009

Daca \( x \) si \( y \) sunt ambele impare, atunci \( x^y \) si \( y^x \) sunt impare, deci \( z \) este par, \( z\ >\ 2 \), contradictie.

Cazul \( x=y=2 \) conduce si el la contradictie. Astfel deducem ca numai unul dintre numerele \( x \) si \( y \) este par.

Fie \( x=2 \). Atunci ecuatia devine \( 2^y+y^2=z \) .

Pentru \( y=3 \) obtinem \( z=17 \) care este solutie .

Sa demonstram ca nu mai avem alte solutii. \( y \) e numar impar, deci il consideram de forma \( 2k+1\ ,\ k\ge 2 \) .

Avem \( 2^{2k}=4^k=(3+1)^k=M_3+1\ \Longrightarrow\ 2^{2k}\cdot 2=2^{2k+1}=M_3+2\ \Longrightarrow\ 2^y=M_3+2\ (1) \)

Acum, din teorema lui Fermat avem \( y^2\equiv1(\mbox{mod}\ 3) \), pentru \( y\ge 5 \) si \( y \) prim \( \Longrightarrow\ y^2=M_3+1\ (2) \)

Din \( (1) \) si \( (2) \) \( \Longrightarrow\ z=M_3 \), deci \( z \) nu e prim \( (z\ >\ 3) \).

In concluzie solutiile problemei sunt: \( (x\ ,\ y\ ,\ z)\in\{(2\ ,\ 3\ ,\ 17)\ ;\ (3\ ,\ 2\ ,\ 17)\} \) .