mateforum.ro

Fie \( \alpha \in R-Q \), \( a_n = \left\{ {\begin{array}
0,\ [n\alpha ] = [(n - 1)\alpha ] \\
1,\ [n\alpha ] \ne [(n - 1)\alpha ] \\
\end{array}} \right. \)
Demonstrati ca \( {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_1 + a_2 + ... + a_n }}{n} = \alpha. \)

Enuntul este gresit pt ca daca luam \( \alpha=e \) limita aceea ar fi egala cu e dar si mai mica sau egala cu 1, deci \( e\leq 1 \) care evident este falsa.

Trebuie înlocuită condiţia \( \alpha \in R-Q \) cu \( 0 \le \alpha \le 1 \).

Imi cer scuze pentru neintelegere. Intradevar \( \alpha \in R\backslash Q \cap [0,1] \).

Theodor Munteanu wrote:Imi cer scuze pentru neintelegere. Intradevar \( \alpha \in R\backslash Q \cap [0,1] \).

De ce insişti cu \( \alpha \) iraţional când e suficient \( \alpha \in [0,1] \) ?

Oricum pt cazul rational demonstratia este banala, deoarece sirul \( (a_n) \) ar fi periodic.

Pt. orice \( \alpha \) putem lua doua siruri de numere rationale \( (x_k),(y_k);x_k<\alpha<y_k;\lim_{k\to\infty} x_k=\lim_{k\to\infty} y_k=\alpha \).
Evident sirurile \( (a_n) \) corespunzatoare sirurilor \( (x_k), (y_k) \) sunt periodice deoarece \( x_k, y_k \) sunt rationale pt orice k.
Cum \( [nx_k]\le [n\alpha] \le [ny_k],\forall k \), notand \( b_n=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \), rezulta ca \( b_n_{x_k} \le b_n_{\alpha} \le b_n_{y_k} \) pt. orice n. Trecand la limita pt k, n tind la infinit rezulta concluzia.

O rezolvare mult mai simpla a profesorului meu:
se observa ca \( a_n=[n\alpha]-[(n-1)\alpha] \), deci \( b_n=\frac{[n\alpha]}{n} \) si folosind criteriul clestelui avem concluzia.