Olimpiada Nationala 2009 (problema 1)

[Marcelina Popa]

O multime A este alcatuita din 5 numere rationale pozitive. Se stie ca multimea produselor obtinute prin inmultirea a cate doua elemente distincte din A este {0,1; 0,15; 0,375; 1; 1,6; 2,5; 3,75; 4; 6; 40}. Determinati multimea A. (Olimpiada Nationala 2009)

[Laurian Filip]

fie a,b,c,d,e elementele multimii, \( a<b<c<d<e \)
\( a\cdot b \) este cel mai mic produs, deci
\( a\cdot b=0,1 \) (1)

La fel ajungem si la
\( d\cdot e=40 \) (2)


\( (abcde)^4=(ab)(ac)(ad)(ae)(bc)(bd)(be)(cd)(ce)(de) \)

Adica chiar produsul produselor dinstincte a cate 2 elemente din A.
\( (abcde)^4=\frac{1}{10} \cdot \frac{15}{100} \cdot \frac{375}{1000} \cdot 1 \cdot \frac{16}{10} \cdot \frac{25}{10} \cdot \frac{375}{100} \cdot 4 \cdot 6 \cdot 40=81 \)(numerele nu erau neaparat in aceasta ordine)

de unde
\( abcde=3 \)

Cu relatiile (1) si (2) rezulta \( c=\frac{3}{4} \)
\( a\cdot c \) este al doilea cel mai mic produs \( \to \) \( a\cdot c=0,15 \to a=\frac{1}{5} \)
\( a\cdot b=0,1 \to b=\frac{1}{2} \)

\( c\cdot e \) este al doilea cel mai mare produs
\( c \cdot e=6 \to e=8 \)
\( d \cdot e=40 \to d=5 \)