mateforum.ro

Fie triunghiul ABC. Sa se arate ca daca un punct din plan M are proprietatea ca aria lui ABM este egala cu aria lui ACM, atunci acesta se afla pe mediana din A sau pe paralela la BC dusa prin A.

-fie\( AM\cap BC={N} \).
-din \( A_{ABM}=A_{ACM}\Longrightarrow \frac{AM\cdot BM\cdot \sin AMB}{2}=\frac{AM\cdot CM\cdot \sin AMC}{2} \),adica \( BM\cdot \sin AMB=CM\cdot \sin AMC(1) \).
\( A_{BMN}=\frac{BM\cdot MP\cdot \sin BMP}{2}=\frac{BM\cdot MP\cdot \sin(180-AMB)}{2}=\frac{BM\cdot MP\cdot \sin AMB}{2}(2) \).
\( A_{CMN}=\frac{CM\cdot MP\cdot \sin PMC}{2}=\frac{CM\cdot MP\cdot \sin(180-AMC)}{2}=\frac{CM\cdot MP\cdot \sin AMC}{2}(3) \).
-din (1),(2) si (3)\( \Longrightarrow A_{BMN}=A_{CMN} \), \( A_{ABM}+A_{BMN}=A_{ACM}+A_{CMN} \), \( A_{ABN}=A_{ACN} \) de unde, evident, \( N \) este mijlocul segmentului \( BC \).
-daca M este in exterior, atunci notam \( MC\cap AB=O \)(cazul in care M este in dreapta lui AB este simetric).
\( MO\cdot BO\cdot \sin MOB=AO\cdot OC\cdot \sin AOC \), dar\( \angle MOB\equiv \angle AOC\Longrightarrow BO\cdot MO=AO\cdot OC,\ \frac{MO}{OC}=\frac{AO}{OB}(*) \).
- din\( \angle MOC\equiv \angle BOC \) si din (*)\( \Longrightarrow \triangle MOA\sim \triangle BOC\Longrightarrow BC\parallel MA \)
- mai este si cazul in care M este afara si se afla pe mediana, dar este mai simplu de demonstrat.

Scuze ca intervin, dar daca aceasta problema a fost propusa la clasa a 7-a, trebuia rezolvata cu metode de a 7-a. Rezolvarea asta e cam de a 9-a. Cred ca ar trebui ceva fara trigonometrie, deocamdata.

Formula \( A_{ABC}=\frac{AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}{2} \) se cam stie pe la clasa a VII-a.

Da, a fost si in materia pentru teza.