Gh. Titeica 2009, problema 3
Posted: Fri May 22, 2009 7:45 pm
In interiorul triunghiului ascutitunghic \( ABC \) consideram punctul \( P \). Notam cu \( x,y,z \) distantele de la \( P \) la varfurile \( A,B,C \) si cu \( \alpha,\beta,\gamma \) masurile in radiani ale unghiurilor \( APB,BPC,CPA. \)
(i) Daca \( S \) este aria triunghiului \( ABC \) atunci are loc inegalitatea:
\( 4S^2\leq \(2+\frac{1}{2}\cdot \sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta \)\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)-y^2\(x\sin\beta-z\sin\alpha\)^2. \)
Explicati de ce exista puncte \( P \) astfel incat \( S^2<\frac{1}{2}\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). \)
(ii) Fixand punctele \( A,B \) si cercul \( D \) de diametru \( AB, \) aratati cum poate fi construit punctul \( C \) astfel incat inegalitatea de la (i) sa devina egalitate intr-un punct \( P \) al cercului \( D, \) si anume \( S^2=\frac{1}{2}\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). \)
(iii) Folosind eventual punctul (i), aratati ca are loc inegalitatea dubla
\( S^2\leq\frac{1}{2}\(1-\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\)\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)\leq\frac{9}{16}\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\) \)
cu egalitate daca si numai daca triunghiul \( ABC \) este echilateral iar \( P \) este centrul cercului circumscris triunghiului.
O. Mustafa
(i) Daca \( S \) este aria triunghiului \( ABC \) atunci are loc inegalitatea:
\( 4S^2\leq \(2+\frac{1}{2}\cdot \sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta \)\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)-y^2\(x\sin\beta-z\sin\alpha\)^2. \)
Explicati de ce exista puncte \( P \) astfel incat \( S^2<\frac{1}{2}\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). \)
(ii) Fixand punctele \( A,B \) si cercul \( D \) de diametru \( AB, \) aratati cum poate fi construit punctul \( C \) astfel incat inegalitatea de la (i) sa devina egalitate intr-un punct \( P \) al cercului \( D, \) si anume \( S^2=\frac{1}{2}\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). \)
(iii) Folosind eventual punctul (i), aratati ca are loc inegalitatea dubla
\( S^2\leq\frac{1}{2}\(1-\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\)\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)\leq\frac{9}{16}\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\) \)
cu egalitate daca si numai daca triunghiul \( ABC \) este echilateral iar \( P \) este centrul cercului circumscris triunghiului.
O. Mustafa